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Lecture 2 : Source（电源） & Element Signals（基本信号）

Source（电源）

电源，分为电流源和电压源。对于理想的电流源和理想的电压源，他们有这样的性质：

• 理想电流源
  • 我们认为通过理想电流源的电流大小恒为它的电流值，而电流源两端的电压大小可以是任意值
  • 此处提及的“电流值”可以是一个函数，也可以是一个常数
  • 如果电流源的电流值是一个常数，那么我们称之为恒流源
  • 如果电流源的电流值是一个函数，那么我们称之为变流源
  • 如果函数值在正负之间变化，那么我们称之为交流源
• 理想电压源
  • 我们认为通过理想电压源的电流大小可以是任意值，而电压源两端的电压恒为它的电压值
  • 此处提及的“电压值”可以是一个函数，也可以是一个常数
  • 如果电压源的电压值是一个常数，那么我们称之为恒压源
  • 如果电压源的电压值是一个函数，那么我们称之为变压源
  • 如果函数值在正负之间变化，那么我们称之为交压源

电压源的表示方法如图所示：

而电流源的表示方法如图：

Source Transformation（电源变换）

多个电源可以通过电源变换的方式转换为一个电源。电源变换的规则如下：

• 电压源串联
  • 电压源串联时，电压值相加，电流值不变
• 电压源并联
  • 电压源并联时，电压值不变，电流值相加

Dependent Source（受控源）

受控源是一个电源，它的电压值或者电流值是由电路中的其他元件决定的。受控源的种类有：

• 电压控制电压源（VCVS）
  • 电压控制电压源的电压值是由电路中的电压决定的
• 电流控制电压源（CCVS）、
  • 电流控制电压源的电压值是由电路中的电流决定的
• 电压控制电流源（VCCS）
  • 电压控制电流源的电流值是由电路中的电压决定的
• 电流控制电流源（CCCS）
  • 电流控制电流源的电流值是由电路中的电流决定的

四种类型的受控源的区别主要在于其输出电流/电压的关于某个受控量的函数关系。

受控源的表示方法如图所示：

Element Signals（基本信号）

函数 的定义是两个物理量之间的关系，输入一个量后输出一个量，用 $f(x)$ 表示。而 信号 是随时间变化的函数，用 $f(t)$ 表示。

此处介绍的常用的几个信号：

• Sinusoidal Signal（正弦信号）
• Dirac Delta Function（德尔塔函数）
• Unit Step Function（单位阶跃函数）
• Ramp Function（斜坡函数）
• Rectangular Pulse Function（矩形脉冲函数）
• Triangular Pulse Function（三角脉冲函数）

Dira Delta Function（德尔塔函数）

德尔塔函数是一个在 $t=0$ 时刻的脉冲信号。我们首先先定义一个矩形脉冲函数：

$$ f(t) = \frac{1}{\tau} rect(\frac{t+\frac{\tau}{2}}{\tau}) $$

此时，让 $\tau \to 0$ ，我们就得到了德尔塔函数：

$$ \delta(t) = \lim_{\tau \to 0} \frac{1}{\tau} rect(\frac{t+\frac{\tau}{2}}{\tau}) $$

德尔塔函数的性质：

• 非常窄，但是面积为1
• 任意函数与德尔塔函数的卷积等于原函数在 $t=0$ 处的值
• 德尔塔函数的导数是一个矩形脉冲函数
• 德尔塔函数的积分是一个单位阶跃函数

Unit Step Function（单位阶跃函数）

单位阶跃函数是一个在 $t=0$ 时刻突然跳变的函数：

$$ u(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ 1, & t \ge 0 \end{cases} $$

可以发现，单位阶跃函数的导数是德尔塔函数：

$$ \frac{du(t)}{dt} = \delta(t) $$

如果我们需要表示在 $(a,b)$ 时间段内的单位阶跃函数，我们可以用 $u(t-a)-u(t-b)$ 或者 $H(t-b)\cdot u(t-a)$ 来表示。常用的还是减法的形式，因为利于求导和积分操作。

Ramp Function（斜坡函数）

斜坡函数是单位阶跃函数的积分：

$$ r(t) = \int u(t) dt = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ t, & t \ge 0 \end{cases} $$

Exponential Function（指数函数）

指数函数是一个以 $e$ 为底的幂函数：

$$ f(t) = e^{-at}u(t), a > 0 $$

把指数函数乘上余弦或者正弦函数，我们就得到了指数衰减的余弦/正弦信号：

$$ f(t) = e^{-at}cos(\omega t)u(t) $$

$$ f(t) = e^{-at}sin(\omega t)u(t) $$

Rectangular Pulse Function（矩形脉冲函数）

矩形脉冲函数是一个在0周围 $T$ 时间段内的单位阶跃函数：

$$ f(t) = A rect(\frac{t}{T}) = \begin{cases} A, & |t| < \frac{T}{2} \\ 0, & |t| > \frac{T}{2} \end{cases} $$

Triangular Pulse Function（三角脉冲函数）

三角脉冲函数是一个在0周围 $T$ 时间段内的斜坡函数：

$$ f(t) = A tri(\frac{t}{T}) = \begin{cases} \frac{2A}{T}t + A, & -\frac{T}{2} < t < \frac{T}{2} \\ 0, & |t| > \frac{T}{2} \end{cases} $$

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