Álgebra Computacional: Librería de Cuerpos Finitos y Polinomios

Implementación desde cero de estructuras algebraicas avanzadas y algoritmos de factorización en Python. Este proyecto destaca por no depender de librerías externas, implementando incluso los algoritmos de optimización matricial y polinómica de forma nativa.

🚀 Características Principales

🏗️ Estructuras Implementadas

• Cuerpos Finitos ($F_p$): Aritmética modular completa, inversos y potencias rápidas.
• Anillos de Polinomios ($F_p[x]$): División con resto, GCD extendido y test de irreducibilidad de Rabin.
• Cuerpos de Extensión ($F_q$): Implementación mediante cocientes de polinomios irreducibles.
• Anillos de Polinomios sobre extensiones ($F_q[x]$): Soporte para aritmética y algoritmos avanzados sobre cuerpos de extensión.

🧬 Algoritmos de Factorización

Implementación del pipeline completo de Cantor-Zassenhaus:

1. Square-free Factorization: Eliminación de factores con multiplicidad.
2. Distinct-degree Factorization: Separación de factores por grados.
3. Equal-degree Factorization: Algoritmo probabilístico para obtener factores irreducibles.

⚡ Algoritmos de Alto Rendimiento

• Multiplicación de Karatsuba: Optimización del producto de polinomios con complejidad $O(n^{\log_2 3})$.
• Transformada Rápida de Fourier (FFT): Algoritmo de Cooley-Tukey para multiplicación en tiempo casi lineal.
• Matrices de Toeplitz: Operaciones de producto e inversión mediante División y Conquista recursiva.
• División Rápida: Basada en la inversión de matrices de Toeplitz.

🛠️ Instalación y Uso

Al ser una librería "pure Python", no requiere dependencias externas.

import cuerpos_finitos as cf
fp = cf.cuerpo_fp(7)
fpx = cf.anillo_fp_x(fp, 'x')
f = (5, 1, 0, 2, 3) # 3x^4 + 2x^3 + x + 5
print(fpx.factorizar(f))

✒️ Autoría

Proyecto desarrollado para la asignatura de Álgebra Computacional (2025).

• Desarrolladores: Alberto Peña Peñalver y Fabio Torres Martínez.
• Contribución: Implementación de la arquitectura de clases y optimización de algoritmos de factorización y matrices.