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Phase Field Fracture

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西岡佳祐 edited this page Mar 15, 2026 · 2 revisions

Phase-Field Fracture (VEM × バイオフィルム剥離)

世界初: VEM × phase-field × バイオフィルム剥離の統合

Phase-Field とは

Phase-field fracture は亀裂（クラック）を連続場 d(x) ∈ [0,1] で表現する破壊力学の手法。

d 値 意味
d = 0 無傷 (intact material)
0 < d < 1 部分損傷 (damage zone)
d = 1 完全破壊 (fully cracked)

従来手法との違い

従来 (XFEM等) Phase-field
亀裂表現 不連続面 (明示追跡) 連続場 d(x)
メッシュ変更 必要 不要
分岐・合流 複雑な処理 自然に扱える
数学的基礎 Ad hoc 変分原理

エネルギー汎関数

$$E[u, d] = \underbrace{\int_\Omega g(d) \psi^+(u) , dx}_{\text{degraded tensile}} + \underbrace{\int_\Omega \psi^-(u) , dx}_{\text{compressive}} + \underbrace{G_c \int_\Omega \left[ \frac{d^2}{2\ell} + \frac{\ell}{2} |\nabla d|^2 \right] dx}_{\text{fracture energy}}$$

Symbol Meaning Value
g(d) = (1-d)² + k degradation function (剛性劣化) k ≈ 10⁻⁶
ψ⁺(u) tensile strain energy (亀裂駆動) —
ψ⁻(u) compressive strain energy (亀裂に影響しない) —
G_c fracture toughness (破壊靭性) 0.01–0.5 J/m²
ℓ regularization length (亀裂帯域幅) 0.02–0.1

Spectral Decomposition (引張/圧縮分離)

主ひずみ ε_i を分解:

  • ε⁺ = Σ max(ε_i, 0) · n_i ⊗ n_i （引張成分のみ）
  • ε⁻ = ε - ε⁺ （圧縮成分）

→ 圧縮下では亀裂が進展しない (物理的に正しい)

Staggered Solver（交互最小化）

Aldakheel et al. (2018, IKM Hannover) の手法:

for each load step:
    1. Displacement solve:  min_u E[u, d_old]  →  K(d) · u = f
    2. History update:      H = max(H_old, ψ⁺_new)     # irreversibility
    3. Phase-field solve:   min_d E[u_new, d]
    4. Enforce:             d_new ≥ d_old               # damage は不可逆

不可逆性: 一度壊れた箇所は修復されない（history variable H で保証）。

VEM × Phase-Field の利点

Feature FEM (三角/四角) VEM (Voronoi)
メッシュバイアス あり なし
コロニー対応 複数要素/colony 1 colony = 1 要素
G_c 定義 要素間補間必要 セル単位で自然
Remesh 必要な場合あり 不要
IKM系譜 — Aldakheel が開拓

DI → G_c マッピング (バイオフィルム)

G_c(DI) = G_c_min + (G_c_max - G_c_min) · (1 - DI)^n
Condition DI G_c [J/m²] 意味
Commensal ≈ 0 0.50 丈夫 — EPS cross-link 豊富
Intermediate ≈ 0.5 0.13 中間
Dysbiotic ≈ 1 0.01 脆い — EPS 少, crack しやすい

DI が高い (病原性が高い) バイオフィルムは EPS マトリクスの cross-link が少なく、機械的に弱い → 小さい力で剥離。

構成則全体

constitutive laws

結果 1: Synthetic Biofilm Demo

Phase-Field Damage

phase-field demo

Dysbiotic center (高 DI, 低 G_c) から亀裂開始 → 周辺に伝播。

Paper Figure

paper phase-field

DI 場 → G_c 場 → 亀裂進展の3段階。

Damage Sequence (Load Steps)

sequence

Load-Displacement Curve

load-displacement

Step 18 で急激なドロップ = 脆性破壊 (brittle fracture)。

結果 2: Real SAPA Biofilm (Zenodo TIFF)

SAPA dual-species (SA + PA) の 2D 断面に phase-field fracture を適用。

phase-field real

6パネル:

  • (a) DI 場 — PA-dominant 領域で DI ≈ 0.76
  • (b) G_c 場 — PA 領域で G_c ≈ 0.038 (脆い)
  • (c) Phase-field d (最終) — d_max = 0.85
  • (d) E 場 — SA 領域で高剛性
  • (e) Damage evolution — d_max と |u|_max の時間発展
  • (f) Confocal overlay — 元の蛍光画像 (G=SA, R=PA)
Parameter Value
Elements 69 VEM (Voronoi)
DI range 0.18 – 0.76
G_c range 0.038 – 0.340 J/m²
Load steps 30
d_max (final) 0.85
Cracked nodes 57/82 (70%)

観察

  • PA-dominant 領域 (低 G_c) から亀裂が開始
  • SA-dominant 領域 (高 G_c) は最後まで intact
  • Step 10–15 で急激な damage propagation

結果 3: Cohesive Zone Model (CZM)

Phase-field の代替。界面に traction-separation law を適用。

czm demo paper czm

結果 4: Adaptive Phase-Field

A posteriori error estimator で亀裂先端を自動検出 → h-adaptive 細分化。

adaptive fracture paper adaptive

Key References

Paper Year ポイント
Aldakheel, Hudobivnik, Hussein, Wriggers 2018 Phase-field VEM (IKM 原著)
Nguyen-Thanh, Zhuang et al., Wriggers 2018 2D VEM crack (IKM)
Miehe, Hofacker, Welschinger 2010 Phase-field thermodynamic framework
Bourdin, Francfort, Marigo 2000 Variational approach to fracture

結果 5: 3D Phase-Field (Polyhedral VEM) — NEW

世界初: 3D polyhedral VEM × phase-field。2D の拡張。

Synthetic (30 polyhedra)

3D synthetic

Real SAPA (208 polyhedra)

3D real

詳細は 3D Real Biofilm を参照。

Scripts

  • vem_phase_field.py — 2D PhaseFieldVEM class + staggered solver
  • vem_phase_field_3d.py — 3D PhaseFieldVEM3D class + spectral decomposition
  • phase_field_real_3d.py — Real SAPA data pipeline
  • vem_error_estimator.py — A posteriori error + adaptive

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